散度和旋度
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散度 (Divergence):

散度和旋度

图一、一个发散场 (A divergent field)。(本文作者陈品全绘)

Divergence 中文译作散度,是在形容某一个向量的发散程度为何。在三维的笛卡儿座标中,一个向量场 $$\vec{v}$$ 的散度是:

$$\displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{v}\equiv\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$$

利用散度定理 (Divergence theorem),我们可以从另一个观点来看散度的数学意义:

$$\displaystyle \int_V(\vec{\nabla}\cdot\vec{v})dV=\oint_{\partial V}\vec{v}\cdot d\vec{a}$$

如果要计算某个空间 $$V$$ 内向量 $$\vec{v}$$ 的散度,一个取而代之的方法是先去计算向量 $$\vec{v}$$ 通过这个空间的表面 $$\partial V$$ 的总通量为何(面积元向量 $$d\vec{a}$$ 的方向为表面上某个点的法向量,并且通常定义向外为正)。如果将这个空间缩到无限小,那幺我们则可以由散度定理重新写出散度,为:

$$\displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=\lim_{V\to 0}\frac{\oint_{\partial V}\vec{v}\cdot d\vec{a}}{V}$$

旋度 (Curl):

散度和旋度

图二、一个旋转场 (A rotational field)。(本文作者陈品全绘)

Curl 的中文译作旋度,是在形容某一个向量旋转的程度为何。在三维的笛卡儿座标中:

$$\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{v}\equiv\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat{k}$$

利用斯托克斯定理 (Stokes’ theorem),我们可以从另一个观点来看旋度的数学意义:

$$\displaystyle\int_\Sigma(\vec{\nabla}\times\vec{v})\cdot d\vec{a}=\oint_{\partial\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{s}$$

散度和旋度

图三、斯托克斯定理 (Stokes’ theorem)。(本文作者陈品全绘)

如果要计算某个旋度 $$\vec{\nabla}\times\vec{v}$$ 通过某个曲面 $$\Sigma$$(不一定要封闭)的总通量,那幺这个量会等于让向量 $$\vec{v}$$ 沿着曲面 $$\Sigma$$ 的边缘封闭曲线 $$\partial\Sigma$$ 的路径积分。如果将面积 $$\Sigma$$ 缩到无限小,那幺我们可以利用斯托克斯定理重新写出旋度为:

$$\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{v}=\lim_{A_{yz}\to 0}\frac{\oint_{\partial A_{yz}}\vec{v}\cdot d\vec{s}}{A_{yz}}\hat{i}+\lim_{A_{xz}\to 0}\frac{\oint_{\partial A_{xz}}\vec{v}\cdot d\vec{s}}{A_{xz}}\hat{j}+\lim_{A_{xy}\to 0}\frac{\oint_{\partial A_{xy}}\vec{v}\cdot d\vec{s}}{A_{xy}}\hat{k}$$

其中 $$A_{xy}$$ 为 x-y 方向上的一块小面积,$$A_{xz}$$ 与 $$A_{yz}$$ 同理。因为旋度是具有方向性的,一般来说在笛卡儿座标需要有三个不同方向的分量才能完整描述 。

$$\vec{\nabla}\times\vec{v}$$ 是具有方向性的,它的方向朝向使 $$\oint_{\partial\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{s}$$ 最大化的面积法向量 $$\hat{n}$$。白话来说,就是我们可以选择很多具有不同法向量的小迴圈当作路径环积分的 $$\partial \Sigma$$;而在我们得到最大值的时候,我们就可以确定旋度的向量的方向为小迴圈的法向量,而 $$\vec{v}$$ 便是沿着这个法向量旋转(右手定则:以大拇指为 $$\vec{\nabla}\times\vec{v}$$ ,其余四指为 $$\vec{v}$$ 的方向。)

散度和旋度

图四、右手定则。(图片来源


参考文献

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